DEFINICION DE DERIVADA

¨PENDIENTE DE LA tan A UNA CUERVA EN UN PUNTO DETERMINADO¨



REGLAS DE DERIVADAS DE FUNCIONES ALGEBRAICAS

-       La derivada de una constante es igual a 0

Si y=c

y’=0

-       La derivada de una variable independiente es igual a uno.

Si y=x

y’=1

-       La derivada del producto de una constante por una variable independiente es igual a la misma constante

Si y=cx

y’=c

-       La derivada de x^n es igual al producto del exponente n por x con exponente disminuido en una unidad

Si y= x^n

y’= nx^n-1

 El producto del exponente n por su exponente disminuido en una unidad por el producto de la derivada del termino u

Si y= u^n

y’= nu^n-1 d/dx U

-        La derivada de Raiz de n es un cociente cuyo numerador es la derivada de u y el denominador es dos veces la misma raíz.

Si y= √n

y’= d/dx n / 2√u

-        La derivada de la suma de un numero finito de funciones es igual a la suma de las derivadas de las funciones

Si y= u + v + w

y’= d/dx(u) + d/dx(v) + d/dx (w)

-        La derivada del producto de las dos funciones es igual al producto de la primera función por la derivada de la segunda mas el producto de la segunda por la derivada de la primera

Si y= u.v

y’= u d/dx (v) + (v) d/dx u

-        La derivada del cociente de dos funciones es igual al denominador por la derivada del numerador menos el numerador por la derivada del denominado, todo dividido por el cuadrado del denominador

Si y= u / v

y’= v d/dx (u) – (u) d/dx v  / v^2

REGLAS DE DERIVADAS DE FUNCIONES TRASCENDENTES- TIGONOMETRICAS, EXPONENCIALES, LOGARITMICAS DE BASE Y NATURALES.

-       La derivada de seno.

Si y= senu

y’= cosu d/dx (u)

-       La derivada de coseno.

Si y= cosu

y’= -senu d/dx (u)

-       La derivada de tangente.

Si y= tanu

y’= sec^2u d/dx (u)

-       La derivada de Cotangente.

Si y= cotu

y’= -csc^2u d/dx (u)

-       La derivada de Secante.

Si y= secu

y’= secu.tanu d/dx (u)

          La derivada de cosecante.

Si y= cscu

y’= -cscu.cotu d/dx (u)

-       La derivada de a^u.

Si y= a^u

y’= a^ulna d/dx (u)

-       La derivada de e^u.

Si y= e^u

y’= e^u d/dx (u)

-       La derivada de Logaritmo Natural .

y= lnu

y’= 1/u d/dx (u)

-       La derivada de logaritmo base.

y= logaU

y’=1/Ulna d/dx (u)

*PASOS DE RESOLUCION, USOS Y APLICACIONES (DERIVACION).

1 er PASO. Sumar el Incremento Delta (∆) representado por un triangulo a cada variable.

2do PASO. Desarrollar operaciones algebraicas y restarle la función original.

3er PASO. Dividir entre el incremento de ∆x. Para eliminar valores delta (∆x)

4to PASO. Aplicar el limite ∆x cuando tiende a 0. Sustituiremos todos los ∆x por [0] en toda la ecuación y se multiplicara.

Usos y Aplicaciones:

La derivada se desarrollo con el deseo de medir y cuantificar el cambio y variacion.

Newton y Leibnitz fueron independientemente los introductores de este estudio deoperaciones.

Cuando se tiene la gráfica de una función continua resulta bastante fácil señalar en qué intervalo la función es creciente, decreciente o constante. Sin embargo, no resulta fácil decir en que intervalo la función es creciente, decreciente o constante sin la gráfica de la función.

El uso de la derivada de una función puede ayudar a determinar si una función es creciente, decreciente o constante en un intervalo dado. 

* MAXIMOS Y MINIMOS

Los maximos y minimos de una funcion de dos variables nos permiten medir las altitudes maximas y minimas sobre la superficie que integra la grafica de la funcion (Son parecidas al punto mas alto de una colina y el mas bajo de una hondeada).

*ABSOLUTOS Y RELATIVOS

Maximo Absoluto
Una función tiene su máximo absoluto en el x = a si la ordenada es mayor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

Mínimo absoluto
Una función tiene su mínimo absoluto en el x = b si la ordenada es menor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

Maximo y Minimo Relativo
Una función f tiene un máximo relativo en el punto a, si f(a) es mayor o igual que los puntos próximos al punto a.
Una función f tiene un mínimo relativo en el punto b, si f(b) es menor o igual que los puntos próximos al punto b.

*PUNTO DE INFLEXION

Es un punto donde los valores de x de una funcion continuapasa de un tipo concavidad a otra. La curva atraviesa la tangente. La derivada de la segunda funcion f en el puntode inflexion es cero, o no existe. 

* VALORES CRITICOS

En cálculo, los valores críticos de una función de una variable real es cualquier valor en el dominio en donde la función no es diferenciable o cuando su derivada es 0.

Por el teorema de Fermat, los máximos y mínimos locales de una función pueden ocurrir únicamente en sus puntos críticos. Sin embargo, no todo punto estacionario es un máximo o mínimo de la función; puede corresponder también a un punto de inflexión de la gráfica, como para ƒ(x) = x3 en x = 0, o la gráfica puede oscilar en la vecindad del punto, como en el caso de la función definida por la fórmula ƒ(x) = x2sen(1/x) para x ≠ 0 y ƒ(0) = 0, en el punto x = 0.

*SENTIDO DE CONCAVIDAD

f presenta concavidad positiva en x=a si existe un E*a / para todo x perteneciente al E*a f(x) > f'(a)(x-a) + f(a).
 

La función presenta concavidad positiva en el punto a si, en un entorno reducido de a, la gráfica de f está "por encima" de la recta tangente a f(x) en el punto a.


f presenta concavidad negativa en x=a si existe un E*a / para todo x perteneciente al E*a f(x) < f'(a)(x-a) + f(a).
 

La función presenta concavidad negativa en el punto a si, en un entorno reducido de a, la gráfica de f está "por debajo" de la recta tangente a f(x) en el punto a.

*Segunda derivada

Se llama derivada segunda de una función f(x) a la derivada de la derivada de dicha función.
Notación: f''(x).
Este concepto se puede extender a la derivada n-ésima de una función.

DEFINICION DE LIMITES

El vocablo que nos ocupa en primer lugar, límite, podemos decir que se trata de una palabra, que puede traducirse como “frontera o borde”.

 Puede tratarse de una línea que separa dos territorios, de un extremo a que llega un determinado tiempo o de una restricción o limitación.

La expresión límite de una función se utiliza en el cálculo diferencial matemático y refiere a la cercanía entre un valor y un punto. Por ejemplo: si una función f tiene un límite X en un punto t, quiere decir que el valor de f puede ser todo lo cercano a X que se desee, con puntos suficientemente cercanos a t, pero distintos.

TIPOS DE LIMITES

LIMITES FINITOS

Limf(x)=b <=> para todo ε>0 existe δ>0 / para todo x, 0 < |x-a| < δ |f(x) - b| < ε.

x->a


Se dice que la función f(x) tiene límite b, cuando x tiende a a, si dado ε positivo arbitrario y tan pequeño como se quiera, existe un δ tal que para todo x perteneciente al entorno reducido de a de radio δ, la función pertenece al entorno de b de radio ε.

.

LIMITES INFINITOS

Observemos la función f(x)=1/x2 para valores de x positivos muy grandes.

x f(x)

100 1,0x10-4

1.000 1,0x10-6

10.000 1,0x10-8

100.000 1,0x10-10

1.000.000 1,0x10-12

Si tomamos x cada vez mayor, f(x) está cada vez más cerca de 0. Si x es suficientemente grande podemos conseguir que f(x) se acerque a 0 tanto como queramos. Decimos que f(x) tiende a 0 cuando x tiende a infinito.

Ilustración geométrica del límite infinito

Veamos a continuación las definiciones precisas de cada uno de los límites que involucran al infinito.

CONDICIONES DE CONTINUIDAD 

Intuitivamente, la continuidad significa que un pequeño cambio en la variable x implica sólo un pequeño cambio en el valor de f(x), es decir, la gráfica consiste de un sólo trozo de curva.



En contraste, una gráfica como la de la función f(x) = sgn x (signo de x) que consiste de pedazos de curva separados por un vacío en una abcisa exhibe allí una discontinuidad.

La continuidad de la función f(x) para un valor a significa que f(x) difiere arbitrariamente poco del valor f(a) cuando x está suficientemente cerca de a.

Calculo en la vida cotidiana

Ejemplos>

1. El calculo es utilizado en diversas maneras en nuestra vida cotidiana, un ejemplo de ello es como sacar el volumen de un cajón, con la formula de LxLxL, con los respectivos valores.


2. También sirve para sacar el área de un patio y poder saber que tanto pasto puedes sembrar. Depende de que figura sea el patio es la formula que se utilizara.

3.Otro ejemplo puede ser en la utilización de construcciones, figuras, objetos, a una escala menor a la que es en realidad, en el ejemplo de las construcciones lo utilizan los arquitectos para modificar el diseño.

APORTACIONES

Isaac Newton

Desde finales de 1664 trabajó intensamente en diferentes problemas matemáticos. 

Y entonces abordó el teorema del binomio.

- Teorema generalizado del binomio. 

Isaac Newton generalizó la fórmula para tomar otros exponentes, considerando una serie infinita.

Newton había descubierto los principios de su cálculo diferencial e integral hacia 1665-1666 y, durante el decenio siguiente, elaboró al menos tres enfoques diferentes de su nuevo análisis.

Newton y Leibniz protagonizaron una agria polémica sobre la autoria del desarrollo de esta rama de la matemática.

Los historiadores de la ciencia consideran que ambos desarrollaron el cálculo independientemente, si bien la notación de Leibniz era mejor y la formulación de Newton se aplicaba mejor a problemas prácticos. 

Wilhelm Leibniz

Las contribuciones de Leibniz en el campo del cálculo infinitesimal, efectuadas con independencia de los trabajos de Newton, así como en el ámbito del análisis combinatorio, fueron de enorme valor.

Introdujo la notación actualmente utilizada en el cálculo diferencial e integral.
in duda Leibniz merece igual crédito que Newton, por lo tanto sus aportaciones al cálculo fueron sobresalientes. 

Leibniz establece la resolución de los problemas para los máximos y los mínimos, así como de las tangentes, esto dentro del cálculo diferencial; dentro del cálculo integral logró la resolución del problema para hallar la curva cuya subtangente es constante.

No cabe duda que su mayor aportación fue el nombre de cálculo diferencial e integral, así como la invención de símbolos matemáticos para la mejor explicación del cálculo, como el signo = (igual).